Sobre el infinito

En atención a los demás socios reproducimos aquí la conversación que mantienen el ponente del próximo V Encuentro, D. Fernando de Terán, y yo mismo.

Reproduciré la secuencia de post (mensajes) en el hilo (conversación) creado por el mismo D. Fernando en el foro. Aprovechen los socios que lo deseen los comentarios al final de esta entrada para participar en la conversación aquí, si no pueden o no quieren hacerlo en el foro.

El infinito en matemáticas

D. Fernando dixit:

Queridos foreros (hace tiempo que deseaba decir esto...es que es mi primera vez, lo reconozco):

El próximo día 25 de febrero, en el V Encuentro de nuestra Sociedad Gastronómico Filosófica Matritense, me gustaría que, entre todos, diéramos respuesta a una serie de preguntas. No sé si os parecerán interesantes, inquietantes, banales, intrascendentes o cualquier otra cosa, pero creo que son ineludibles para un conjunto de filósofos, o aspirantes, que se reúnen a discutir del infinito en matemáticas. Algunas se remontan a los orígenes de la matemática como ciencia , es decir, a la antigua grecia (con permiso de los chinos) y otras son casi de ayer (es decir, de hace menos de 2 siglos). Pero sobre todas ellas han reflexionado algunas de las mentes más brillantes de la historia de la ciencia, y su resolución ha implicado en todos los casos grandes cambios en el pensamiento matemático. Como lo bueno hay que dosificarlo, hoy me limitaré a plantear una de ellas. Mi intención es ir planteando una cada día hasta el día del V Encuentro. Pero en esto no puedo comprometerme, porque he de contar con mi memoria, en la que no tenga demasiada confianza.

La pregunta de hoy es la siguiente:

¿ES EL TODO MAYOR QUE LA PARTE?

Ahí queda eso.

Un abrazo,

Fernando

Yo contestó:

Sin lugar a dudas (gracias a ello es posible la ciencia), todo ser se identifica consigo mismo, el ser es y el no ser no es, entre el ser y no ser no cabe ser, y, todo ser es por una razón.

De estos se sigue que solo puede discutirse que el todo es mayor que sus partes, cuando se dice todo en un sentido y parte en otro.

Si por lo que sea podemos hablar de un todo y su parte (que tienen igual extensión cuando ésta es infinita), o más comunmente si suponemos un todo (los habitantes de la ciudad) y su parte (los habitantes varones de la ciudad), que son iguales si no existe otra parte (habitantes mujeres de la ciudad). La hemos liado.

Si se hace coincidir el todo y una parte con la misma extensión (en un mismo universo), ya no se distingue todo y parte, incumpliendo el primero de los cuatro primeros principios, y por ende todos.

Así que si la parte es y lo es de un todo, no es el todo, y aquélla es menor en el mismo sentido en que decimos que éste es mayor.

Así entiendo mayor el infinito de dos dimensiones comprendido en un infinito mayor pues lo es de tres (dimensiones), por ejemplo. Y el círculo de radio 3 comprendido en el de radio 6 cuyas circunferencias ambas son infinitas.

D. Fernando dixit:

La respuesta de Oskar63 me anima a continuar con mis preguntas por medio del foro, este medio en el que, como muy bien ha dicho nuestro Secretario, no "entra ni su padre". Reconozco que me deja algo aturdido su respuesta, pues ya el primer párrafo me resulta difícil de comprender: "Sin lugar a dudas (gracias a ello es posible la ciencia), todo ser se identifica consigo mismo, el ser es y el no ser no es, entre el ser y no ser no cabe ser, y, todo ser es por una razón".

-¿Por qué todo ser se identifica consigo mismo?

-La sentencia "el ser es y el no ser no es, entre el ser y no ser no cabe ser" ¿se puede entender como que excluímos cualquier otra posibilidad que no sea SER o NO SER? Si es así, creo que esto sí lo entiendo.

-¿Por qué todo ha de tener una razón? Desde el punto de vista científico, tiendo a secundar esta afirmación, pero más allá de la ciencia no le veo el por qué... ¿Razón es sinónimo de "sentido"? (lo que, a mi entender, entronca con el asunto del II Encuentro de SOFIGMA, sobre el sentido de la historia de la humanidad)

A pesar de mi aturdimiento, voy con la segunda pregunta:

LA CLASE DE TODOS LOS CONJUNTOS...¿ES UN CONJUNTO?

Ibi habere (que, según el tradutor de google, es la traducción al latín del castizo "ahí queda eso"...no sé, no sé, espero que los doctos en letras de nuestra sociedad me lo aclaren).

Otro abrazo, y...¡¡¡¡anímense el resto de socios a participar en el Foro!!!!

Fernando

Yo contestó:

Creo que el amigo ferditeran entiende más de lo que dice entender, por eso se atreve a comentar y discutir muy certeramente.

Pero como sigue haciendo preguntas, dejare la cuestión anterior y seguiré contestando como si fuese la encarnación de la verdad o verdadero por el hecho de ser (trascendental).

La clase de todos los conjuntos es otro conjunto. Lo que ya no tengo claro es si el "todos" es un número finito o es infinito. Quizá el conjunto de todos los conjuntos sea un infinito incluso en el caso que todos los conjuntos constituyan un numero finito, porque cada uno de estos conjuntos es a su vez infinito.

Véase por ejemplo, y es solo un ejemplo, en el caso del conjunto constituido por todos los conjuntos de números (en el caso de que solo existieran los naturales, los decimales periodicos y los decimales no periodicos) El conjunto de estos tres conjuntos de números es finito por contener solo tres conjuntos e infinito porque infinitos son los elementos contenidos en sus subconjuntos.

Vale

D. Fernando dixit:
Agradezco la confianza que el amigo Oskar63 deposita en mi entendimiento.

Sus comentarios al respecto de la segunda pregunta son interesantes, si bien habría que separar la "cardinalidad" (para entendernos, el número de elementos y, en particular, la "finitud" o la "infinitud" de un conjunto) de la "propiedad" de ser un conjunto, porque son cuestiones distintas.

En cualquier caso, el amigo Oskar63 introduce en la discusión una serie de conceptos importantes para la cuestión sobre la que estamos convocados para el próximo sábado (por cierto, que si las cuentas no me fallan, es dentro de 4 días, y no de 7, como se indica en la web de nuestra Sociedad). Por ejemplo: los números naturales, los decimales periódicos y no periódicos que, aunque no abarcan todos los números, sí son TODOS los que a nosotros nos interesan (y que se conocen como "números reales", por algo será). Y, efectivamente, el conjunto formado por los tres conjuntos que ha indicado (es decir: A=el conjunto de los números naturales, B=el conjunto de los decimales periódicos y C=el conjunto de los decimales no periódicos) consta de 3 elementos si entendemos esos conjuntos como elementos de un conjunto cuyos elementos son conjuntos. Pero dado que hablamos de la "clase" de todos los conjuntos, este ejemplo no nos vale, porque se nos queda muy corto (sólo tiene tres elemntos!!!). Otra idea importante relacionada con el mensaje de Oskar63 es la de subconjunto y, a partir de ella, la de el conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. Por ejemplo: Dado el conjunto X, formado por dos elementos, pongamos los, hasta el momento, dos únicos participantes en este foro: Oskar63 y ferditeran. En este caso, el conjunto formado por todos los subconjuntos de X es un conjunto con 4 elementos, a saber: 1. el vacío (interesante concepto, que parece ser el opuesto del infinito); 2. el conjunto formado por Oskar63; 3. el conjunto formado por ferditeran; y 4. el conjunto formado por Oskar63 y ferditeran. De paso, hay que decir que el conjunto vacío en teoría de conjuntos siempre es un subconjunto de cualquier conjunto dado.

Pues bien, aprovechando que Oskar63 ha introducido en la discusión los conjuntos de números, la tercera pregunta de la serie es la siguiente:

¿HAY MÁS NÚMEROS NATURALES O NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS?

Pero...¡OJO!, los números naturales son números decimales periódicos...¡de periodo 0! (por ejemplo, el 2 es 2'0000000000...

He dicho.