Número y todo

El vicepresidente se incorpora a la discusión sobre el infinito en matemáticas

Queridos,

Antes de deslizarnos hacia temas tan áridos como en los que nos estáis sumergiendo, y a mí casi ahogando, me gustaría que planteásemos una cuestión algo más sencilla. Si hemos de hablar acerca del infinito matemático, no sería ocioso, creo yo, referirnos antes a la definición de los dos conceptos que, tan sabia y profundamente, nuestros foreros manejan con incredibile soltura. Me refiero a los conceptos de número y todo. Desearía humildemente que nos aclaraseis estos dos conceptos. En primer lugar, hablemos acerca de "número". ¿De qué se predican los números? ¿Qué designan los predicados numéricos en los objetos de los que se dicen? Cuando se dice de algo que es dos o tres, se está, evidentemente, enunciando una respuesta posible a la pregunta: ¿cuántos son? Pero, ¿qué es aquello por cuya cantidad se pregunta? La primera posibilidad que se me ocurre (más bien, que se le ocurre al autor del libro en donde leí esto, un gran maestro, MGB) es que los números se dicen de cosas. Y que, en consecuencia, designan propiedades sensibles o inteligibles de los objetos. Esta hipótesis nos llevaría hasta el problemón de la abstracción. Sin embargo, es la segunda posibilidad la más interesante y la que a mí me lleva a aporías insalvables. Según ésta, los números pueden muy bien designar conjuntos de objetos y no objetos en tanto que elementos de conjuntos posibles. En este caso el abanico de posibilidades es más amplio que el presentado por la anterior posibilidad. Si los números se dicen de conjuntos, pueden ser ahora propiedades de los conjuntos o relaciones entre los miembros conjuntados. Incluso la lengua común nos avisa aquí y nos indica el sinsentido de afirmar que un objeto es "cinco" o "seis" (exceptuamos el número 1, ¡menudo numerito! ¡De éste ni hablamos!¿Vale?) Cuando nos expresamos así lo que realmente queremos decir es que nos encontramos ante un objeto que es un todo en el que se reúnen colectivamente cinco o seis partes. Cinco o seis son las partes en tanto que coleccionadas en el conjunto global, en tanto que vinculadas unas con otras sin otro título que el de puros miembros de un conjunto. Sólo este peculiar tipo de objeto, una pluralidad, parece ser el destinatario de nuestra pregunta: ¿cuántos son? Y, claro está, sólo aquello que posee, en general, pluralidad, posee también una determinada forma de pluralidad. Pluralidad sería, pues, un género; el número, cada número entero positivo desde el dos sería una especie del género pluralidad. (Pues, en efecto, el cinco, pongamos por caso, sería el número que se predica de una multiplicidad de conjuntos: cinco mesas, cinco sillas, cinco sofigmáticos...). Un número cardinal sería de este modo un concepto de conceptos o, dicho de otro modo, la designación de una propiedad común a infinitos conceptos posibles. ¿Y el concepto pluralidad? ¿No serán los números las especies del concepto universal genérico "pluralidad"? ¿Es, entonces, el concepto "todo" más general que el de pluralidad o es el mismo concepto? ¿No designará el concepto de infinito una especie de la pluralidad? ¿Debe un todo contener necesariamente partes de dos especies distintas? ¿Y Dios? Dios como Unidad, ¿admite partes? ¿De qué se predica verdaderamente el número UNO? ¿De Dios? Y para los ateos sofigmáticos: ¿Es Dios un concepto identificable con la Unidad? ¿Con el Infinito? ¿Es un "concepto vacío? ¿De qué se predica realmente el Infinito? Me pierdo... Espero que nuestros dos máximos colaboradores en este foro nos iluminen con sus enseñanzas... RESPONDED MALDITOS

Rafa

Sobre el infinito

En atención a los demás socios reproducimos aquí la conversación que mantienen el ponente del próximo V Encuentro, D. Fernando de Terán, y yo mismo.

Reproduciré la secuencia de post (mensajes) en el hilo (conversación) creado por el mismo D. Fernando en el foro. Aprovechen los socios que lo deseen los comentarios al final de esta entrada para participar en la conversación aquí, si no pueden o no quieren hacerlo en el foro.

El infinito en matemáticas

D. Fernando dixit:

Queridos foreros (hace tiempo que deseaba decir esto...es que es mi primera vez, lo reconozco):

El próximo día 25 de febrero, en el V Encuentro de nuestra Sociedad Gastronómico Filosófica Matritense, me gustaría que, entre todos, diéramos respuesta a una serie de preguntas. No sé si os parecerán interesantes, inquietantes, banales, intrascendentes o cualquier otra cosa, pero creo que son ineludibles para un conjunto de filósofos, o aspirantes, que se reúnen a discutir del infinito en matemáticas. Algunas se remontan a los orígenes de la matemática como ciencia , es decir, a la antigua grecia (con permiso de los chinos) y otras son casi de ayer (es decir, de hace menos de 2 siglos). Pero sobre todas ellas han reflexionado algunas de las mentes más brillantes de la historia de la ciencia, y su resolución ha implicado en todos los casos grandes cambios en el pensamiento matemático. Como lo bueno hay que dosificarlo, hoy me limitaré a plantear una de ellas. Mi intención es ir planteando una cada día hasta el día del V Encuentro. Pero en esto no puedo comprometerme, porque he de contar con mi memoria, en la que no tenga demasiada confianza.

La pregunta de hoy es la siguiente:

¿ES EL TODO MAYOR QUE LA PARTE?

Ahí queda eso.

Un abrazo,

Fernando

Yo contestó:

Sin lugar a dudas (gracias a ello es posible la ciencia), todo ser se identifica consigo mismo, el ser es y el no ser no es, entre el ser y no ser no cabe ser, y, todo ser es por una razón.

De estos se sigue que solo puede discutirse que el todo es mayor que sus partes, cuando se dice todo en un sentido y parte en otro.

Si por lo que sea podemos hablar de un todo y su parte (que tienen igual extensión cuando ésta es infinita), o más comunmente si suponemos un todo (los habitantes de la ciudad) y su parte (los habitantes varones de la ciudad), que son iguales si no existe otra parte (habitantes mujeres de la ciudad). La hemos liado.

Si se hace coincidir el todo y una parte con la misma extensión (en un mismo universo), ya no se distingue todo y parte, incumpliendo el primero de los cuatro primeros principios, y por ende todos.

Así que si la parte es y lo es de un todo, no es el todo, y aquélla es menor en el mismo sentido en que decimos que éste es mayor.

Así entiendo mayor el infinito de dos dimensiones comprendido en un infinito mayor pues lo es de tres (dimensiones), por ejemplo. Y el círculo de radio 3 comprendido en el de radio 6 cuyas circunferencias ambas son infinitas.

D. Fernando dixit:

La respuesta de Oskar63 me anima a continuar con mis preguntas por medio del foro, este medio en el que, como muy bien ha dicho nuestro Secretario, no "entra ni su padre". Reconozco que me deja algo aturdido su respuesta, pues ya el primer párrafo me resulta difícil de comprender: "Sin lugar a dudas (gracias a ello es posible la ciencia), todo ser se identifica consigo mismo, el ser es y el no ser no es, entre el ser y no ser no cabe ser, y, todo ser es por una razón".

-¿Por qué todo ser se identifica consigo mismo?

-La sentencia "el ser es y el no ser no es, entre el ser y no ser no cabe ser" ¿se puede entender como que excluímos cualquier otra posibilidad que no sea SER o NO SER? Si es así, creo que esto sí lo entiendo.

-¿Por qué todo ha de tener una razón? Desde el punto de vista científico, tiendo a secundar esta afirmación, pero más allá de la ciencia no le veo el por qué... ¿Razón es sinónimo de "sentido"? (lo que, a mi entender, entronca con el asunto del II Encuentro de SOFIGMA, sobre el sentido de la historia de la humanidad)

A pesar de mi aturdimiento, voy con la segunda pregunta:

LA CLASE DE TODOS LOS CONJUNTOS...¿ES UN CONJUNTO?

Ibi habere (que, según el tradutor de google, es la traducción al latín del castizo "ahí queda eso"...no sé, no sé, espero que los doctos en letras de nuestra sociedad me lo aclaren).

Otro abrazo, y...¡¡¡¡anímense el resto de socios a participar en el Foro!!!!

Fernando

Yo contestó:

Creo que el amigo ferditeran entiende más de lo que dice entender, por eso se atreve a comentar y discutir muy certeramente.

Pero como sigue haciendo preguntas, dejare la cuestión anterior y seguiré contestando como si fuese la encarnación de la verdad o verdadero por el hecho de ser (trascendental).

La clase de todos los conjuntos es otro conjunto. Lo que ya no tengo claro es si el "todos" es un número finito o es infinito. Quizá el conjunto de todos los conjuntos sea un infinito incluso en el caso que todos los conjuntos constituyan un numero finito, porque cada uno de estos conjuntos es a su vez infinito.

Véase por ejemplo, y es solo un ejemplo, en el caso del conjunto constituido por todos los conjuntos de números (en el caso de que solo existieran los naturales, los decimales periodicos y los decimales no periodicos) El conjunto de estos tres conjuntos de números es finito por contener solo tres conjuntos e infinito porque infinitos son los elementos contenidos en sus subconjuntos.

Vale

D. Fernando dixit:
Agradezco la confianza que el amigo Oskar63 deposita en mi entendimiento.

Sus comentarios al respecto de la segunda pregunta son interesantes, si bien habría que separar la "cardinalidad" (para entendernos, el número de elementos y, en particular, la "finitud" o la "infinitud" de un conjunto) de la "propiedad" de ser un conjunto, porque son cuestiones distintas.

En cualquier caso, el amigo Oskar63 introduce en la discusión una serie de conceptos importantes para la cuestión sobre la que estamos convocados para el próximo sábado (por cierto, que si las cuentas no me fallan, es dentro de 4 días, y no de 7, como se indica en la web de nuestra Sociedad). Por ejemplo: los números naturales, los decimales periódicos y no periódicos que, aunque no abarcan todos los números, sí son TODOS los que a nosotros nos interesan (y que se conocen como "números reales", por algo será). Y, efectivamente, el conjunto formado por los tres conjuntos que ha indicado (es decir: A=el conjunto de los números naturales, B=el conjunto de los decimales periódicos y C=el conjunto de los decimales no periódicos) consta de 3 elementos si entendemos esos conjuntos como elementos de un conjunto cuyos elementos son conjuntos. Pero dado que hablamos de la "clase" de todos los conjuntos, este ejemplo no nos vale, porque se nos queda muy corto (sólo tiene tres elemntos!!!). Otra idea importante relacionada con el mensaje de Oskar63 es la de subconjunto y, a partir de ella, la de el conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. Por ejemplo: Dado el conjunto X, formado por dos elementos, pongamos los, hasta el momento, dos únicos participantes en este foro: Oskar63 y ferditeran. En este caso, el conjunto formado por todos los subconjuntos de X es un conjunto con 4 elementos, a saber: 1. el vacío (interesante concepto, que parece ser el opuesto del infinito); 2. el conjunto formado por Oskar63; 3. el conjunto formado por ferditeran; y 4. el conjunto formado por Oskar63 y ferditeran. De paso, hay que decir que el conjunto vacío en teoría de conjuntos siempre es un subconjunto de cualquier conjunto dado.

Pues bien, aprovechando que Oskar63 ha introducido en la discusión los conjuntos de números, la tercera pregunta de la serie es la siguiente:

¿HAY MÁS NÚMEROS NATURALES O NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS?

Pero...¡OJO!, los números naturales son números decimales periódicos...¡de periodo 0! (por ejemplo, el 2 es 2'0000000000...

He dicho.

Carta del Vicepresidente

Queridas todos,

me alegra muchísimo comprobar que el IV Encuentro se ha cumplido, resistiendo a los múltiples embates del maligno, en quien Aliicia cree creer no creer. Aunque, siendo sincero, lo que realmente me hubiera llenado de orgullo hubiera sido la realización de esta ensoñación: en mi delirio os imaginaba a los seis en el restaurante sin poder hablar entre vosotros, hechizados, con la mirada perdida, esperando a Gordot  y a sus dos amigos, ponente y preponente. Y no pudiendo soportarlo más, uno a uno, comenzando por las damas, estoicamente, sin hacer ruido, os vais suicidando, bebiendo la cicuta y cayendo todos en la misma posición sobre el plato de Puerro gratinado. ¡Qué imagen! ¡Mártires gastrosóficos! ¡Ahogados en puerro! Y en medio de la mesa, una pequeña nota colectiva rubricando el suicidio. Un papelito doblado, manchado uno de sus bordes de veneno y escrito en él el maravilloso poema que Fernando ha dedicado a quien os habla. ¡Qué imagen, repito! Y, en vez de semejante acción, como si de vulgaras lectoras de Telva se tratase, os dedicáis meramente a hablar de la muerte, en vez de probarla. ¡Cobardes! ¿Acaso titubeó Sócrates? ¡Qué ejemplo habéis dado! Os eché de menos. Me hubiera suicidado con mucho gusto con vosotros. Espero hacerlo el próximo día.

Un abrazo.

Rafa

Y sigue el debate

Con referencia al chiste ¿Sabes la  historia  de aquel que  se  aventuró en  el desierto?.... Encontró petroleo!!!!, pero se  murió  de  sed... Así que  creo que el éxito en cualquier actividad depende de cuál sea  el objetivo y de qué  medios se usen para  su  obtención . Y ya  que  estamos  con  símiles.... Es como si  alguien que  se  presentase a un  campeonato de ajedrez, quisiera jugar con las  fichas  del parchís . Eso no sería  posible,  porque aunque se pudiera jugar a algo, no sería el ajedrez. Que eso puede ser  muy creativo, que se pueden inventar nuevas  reglas...., pero eso no es el ajedrez, porque así son las reglas  de todos  los  juegos, "tener  las  gafas  de  científico", como tú  dices,significa  que se aceptan  las  reglas  del juego y no sólo decirlo. "Otros  juegos" pueden ser  muy divertidos  y  muy sugestivos pero no son el juego de  la  Ciencia.

Lo que  creo, es que  la  Ciencia y el progreso que se deriva de sus avances, son imparables y no ha  existido, hasta ahora, ninguna  actividad que haya  obtenido sus resultados , También creo que el demonio no existe, si no lo creamos nosotros. La  Ciencia, como  todo  lo demás, depende del uso y los intereses  que  muevan  los  hilos. Por ejemplo, sabemos  que  muchas  enfermedades se  curarían , que muchos  niños  se  salvarían de  morir  cada  minuto, que las diferencias Norte-Sur se estrecharían si hubiese suficiente inversión económica en esas áreas o simplemente  una  distribución diferente.... Ojalá  los males de la humanidad, fueran que  alguien pueda  publicar o no, o que  para  entrar en la  Universidad haya  que ajustarse  a  unos  cánones o  a  otros...

Creo que  hay términos carentes  de sentido en el contexto científico, y me  parece  haber sido respetuosa al afirmar  que lo tienen  fuera  de  ese  contexto, como también  merece todo mi respeto el folclore y  lo ancestral. En cualquier  caso, me  parece llamativa  tu interpretación histórica sobre la ciencia , así como " la  conversión" y equiparación terminológica ("fe", "ortodoxia", "teólogos", "martires", etc...). Aunque desde luego no lo comparto, puedo entender ciertas similitudes.¿Que la  ciencia  se ha  convertido ahora en una especie  de  religión? algo en  lo que se  cree y se  tiene "fe". Es  verdad, pero ese "algo" es, afortunadamente ,inmanente e inteligible, (no sé  si nos  subiríamos   a un avión , o entraríamos  a  un  quirófano, sólo con los buenos augurios del profeta, el mago, o el sacerdote, por  mucho  que  sus rituales y  sacrificios nos conmuevan o impresionen).

Por  supuesto, espero aprender  mucho de ti sobre  Jung , Freud y el Psicoanálisis, considero, como ya  dije, que  hay muchos  elementos  valiosos y eficaces en ello, aunque pertenezcan a otra dimensión teórica. Y  a  mí, de hecho, todo eso me interesa, porque  en efecto, aportan explicaciones diferentes y complementarias .  En cualquier caso, tan sólo pretendía aclarar y compartir con vosotros lo que  me  sugería  tu  artículo, sobre la Ciencia, jugar con el  equívoco no lo considero justo y si me  apuras  tampoco sano, especialmente para  aquellos que como yo, hemos elegido "un juego", que  no es  otro, afortunadamente, que  la  Filosofía.

En fin, creo que el  debate  siempre es enriquecedor, y nos ayuda  a  conocernos a  nosotros mismos y a  los  demás, así que espero seguir aprendiendo de ti, contigo y con los  demás también ;-).

Autor: Alicia Cano

Otras consideraciones

• No estoy en contra del método científico y creo que con él se han logrado avances muy rigurosos. Pero eso no quita para que este método y la frontera de la cientificidad que delimita, como cualquier otro método, nos obligue a dirigir la mirada sólo hacia los objetos que caben en sus procedimientos. Es como aquel chiste de vascos que salen a coger setas y desprecian el rólex que se encuentran porque no forma parte del presupuesto de su salida al campo. El actualmente llamado método científico nos dice en qué parcela debemos buscar, qué gafas debemos ponernos y qué clase de objetos debemos encontrar. 
• En realidad, nada de esto es reprochable si se da uno cuenta de lo que está haciendo. Desde mi punto de vista, el problema surge cuando se pretende que esa parcela, esas gafas y esos objetos lo son todo y que  quien busca de otra manera se pierde en lo ancestral o en el folclore pasado de moda. 
• Por eso, no me convence tu defensa del método, en la que recurres incluso a los mártires de su pureza y al idealismo positivista del progreso de la humanidad. Con un esquema muy parecido, suelen explicar las religiones que triunfan sus avatares históricos. También es curioso que esas religiones, incluso cuando ya dominan el mundo, siguen considerando que están en peligro y que en cualquier momento sus ancestrales enemigos pueden renacer: lo mismo me parece que sucede ahora con la ciencia y con sus defensores, pues creen estar en peligro y que la religión contra la que han luchado puede revolverse, cuando lo cierto es que el cientificismo domina el mundo a sus anchas y que los perseguidos –bien que de manera no cruenta, en algo teníamos que progresar- no son hoy precisamente ellos. ¿O es que, por ejemplo, hay alguien que pueda entrar en la universidad por una puerta distinta a esa o publicar cosas en revistas de “reconocido prestigio” que se aleje de esos presupuestos? 
• Respecto a Jung y Freud, creo que Freud se creyó científico en una época en la que los rigores del método no eran tan extremados y bastaba con esa fe en la naturaleza y en el progreso que tú también proclamas. Después, los “teólogos” de la ortodoxia científica fijaron el canon y establecieron el “camino” con precisión, lo que ha obligado al psicoanálisis a retirarse hacia la hermenéutica o bien a establecer la especificidad clínica de su método o las secuencias contrastables de los procedimientos terapéuticos. 
• Jung era, en ciertos aspectos, metodológicamente más científico que Freud. Yo le defiendo en cuanto que me parece que, con mayor o menor éxito, intentó agrandar el campo de la investigación y rebasar el naturalismo de la época, lo que no quiere decir que se crea necesariamente  que haya otra cosa que la naturaleza. El habló de arquetipos, de inconscientes colectivos, viajó por el mundo como un antropólogo, etc. Cuando me refiero a su educación en un ambiente de pastores protestantes, no lo hago para mostrar una inmunización contra el reduccionismo, pues el reduccionismo se da en todas partes, no sólo en la ciencia. Pero sí creo que alguien abierto a las experiencias, como Jung, tenía que haber recibido de su ambiente familiar la sensación de que lo que mueve al hombre, llamémosle alma o mente, no podía reducirse a pansexualimo o a la mecánica de las metapsicología de Freud. Dicen que uno de los acicates de la investigación en psicología en Europa proviene de la desacralización de la confesión llevada a cabo por el protestantismo, que cambió el régimen de atribuciones de los individuos (la procedencia propia de los actos, la culpa, etc.). La familia de Jung, acostumbrada a escuchar a otros seres humanos en un régimen relativamente abierto, debía saber de qué iban las miserias humanas y a tener teorías implícitas al respecto.

Autor: Jesús A. Marcos (Presidente de SOFIGMA)